信号与系统第一章

第一章、信号与系统的概念

1.1、信号的概念

信号是运载信息的工具,在数学上表示为一个或多个自变量的函数,自变量通常是时间,信号表示为函数.

  • 因果信号、逆因果信号的概念 当时,时,称为因果信号
    时,时,称为逆因果信号
  • 时限信号、右边信号左边信号、双边信号 时限信号强调在时间范围外,;右边信号是,左边信号同理;双边信号强调不恒为0的时间范围延伸到±.

1.2、信号的分类

随机信号与确定信号 连续时间信号与离散时间信号 实信号与复信号

  • 复信号在实际中是不存在的,指示为了分析问题方便比如信号,在实际工程中频率分量是已知的,不含信息而幅度和相位通常运载有信息,因此在信号处理中十分关心信号的幅度和相位,可将信号描述为:
\begin{aligned}
f(t) &=a(t) \cos \left[\omega_{0} t+\varphi(t)\right] \\
&=\operatorname{Re}\left\{a(t) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0} t+j \varphi(t)}\right\} \\
&=\operatorname{Re}\left\{a(t) \mathrm{e}^{j \varphi(t)} \mathrm{e}^{j \omega_{0} t}\right\}
\end{aligned}

周期信号与非周期信号

  • 对连续时间信号,若存在一个非零的最小正数T,等式对任意时间t均成立,则是周期信号。
  • 对离散时间信号,若存在一个非零的最小正整数N,等式对任意时间n均成立,则是周期信号。

能量信号与功率信号

  • 能量信号是对双边信号平方的积分。 若能量信号有界,平均功率趋于0,即满足E<,p趋于0,则该信号为能量有界信号,简称能量信号
  • 功率信号=能量信号/2T 若信号的平均功率有界,能量趋于无穷大,既满足P< ,E趋于无穷,则称该信号为功率信号。

1.3、信号的自变量变换

1.4、信号的基本运算

  • 连续信号的加、乘、导数、积分;离散信号的差分和累加

微分类似于差分用于描述n时刻的增量,积分类似于累加。

\begin{aligned}
\nabla f^{(-1)}[n] &=f^{(-1)}[n]-f^{(-1)}[n-1] \\
&=\sum_{k=-\infty}^{n} f[k]-\sum_{k=-\infty}^{n-1} f[k] \\
&=f[n]
\end{aligned}
  • 信号的奇、偶分解 信号的偶部是与其时间反转信号的和再除以2. 信号的奇部是与其时间反转信号之差再除以2. 如果一个信号本身为偶信号则他的奇部=0 如果一个信号本身为奇信号则他的偶部=0
f(t)=\left\{\begin{array}{l}
2 f_{e}(t)=2 f_{0}(t),t>0; \\
0,t<0.
\end{array}\right.

1.5、单位冲激信号和单位阶跃信号。

  • 离散信号
\delta[n]=\left\{\begin{array}{l}
1,n=0; \\
0,n\not ={}0.
\end{array}\right.
u[n]=\left\{\begin{array}{l}
1,0\leqslant n; \\
0,n<0.
\end{array}\right.

单位冲激信号和阶跃信号的关系是互为差分和累加关系

\sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]=\left\{\begin{array}{ll}
1, & n \geqslant 0 \\
0, & n<0
\end{array}=u[n]\right.

在表示时限离散时间信号时,其表达式是多样的。

  • 连续信号
\delta(t)=\left\{\begin{array}{ll}
\infty, & t=0 \\
0, & t \neq 0
\end{array}\right.

\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \mathrm{d} t=\int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t) \mathrm{d} t=1
u(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & t>0 \\
0, & t < 0
\end{array}\right.
\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) \mathrm{d} \tau=\left\{\begin{array}{ll}
1, & t>0 \\
0, & t<0
\end{array}=u(t)\right.
\delta(t)=\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}
  • 单位冲激信号的性质

单位冲激信号是偶信号 单位冲激信号具有筛选性 离散信号的筛选性

连续信号的筛选性

    \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t) \mathrm{d} t=f(0)
    \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-t_{0}) \mathrm{d} t=f(t_{0})

由于是偶函数,求导得 所以为奇函数,为偶函数

    \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta^{(m)}(t-t_{0}) \mathrm{d} t=(-1)^{(m)}f^{(m)}(t_{0})

证明,注意积分上下限符号。

1.6 系统的概念

在数学上表示为输入信号与输出信号的映射关系。 连接方式有:并联、级联、反馈连接。

1.7 系统的性质

1、记忆系统和非记忆系统:如果一个连续时间系统,任意t时刻的响应y仅与t时刻的输入f有关,而与其他时刻的输入无关,就称为非记忆系统。 2、因果系统和非因果系统:如果一个连续时间系统,任意t时刻的响应y与t以后的输入f无关,则称该系统为因果系统,强调的是与未来无关。 3、系统的可逆性:如果有,一定有,则称系统具有可逆性。不同的输入产生不同的输出。 4、系统的稳定性:有界的输入产生有界的输出。 5、系统的时不变性 如果对任意,一定有成立,则称系统是时不变系统。 6、系统的线性:同时满足齐次性和可加性。如果有,一定有,则系统是齐次的;如果有有,一定有则系统具有可加性。可简记为和的响应等于响应的和


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