泊松点过程

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泊松点过程Poisson point process

介绍

概念解释

首先我们要清楚的是泊松过程是一个 计数过程 。对于二维或者三维的PPP而言，随机抽样出来的样本点在范围内服从均匀分布，样本点之间的距离服从指数分布。这句话我并没有去深入理解研究，我看了中外多种资料后得到了个人对于同质泊松点过程的理解如下：

以上是特意针对与泊松点分布的公式，这里与一般的泊松过程有所不同（或许是相同的只是我不懂(ˉ▽ˉ；)... ）。其中就是给定的一个参数，可以称为密度，代表着一个数学区域，通俗来说就是给定的二维平面或者三维空间（高维可不用考虑了，没必要）。记，这一参数可以被称为速率或者强度。那么在区域中的随机撒点个数就服从了泊松分布。事实上，参数代表的是，也就是多次泊松点过程后在区域上产生随机点个数的均值。这一点可以在我结合的程序中通过Null的值来体现，可以发现多次仿真后它的值是在40附近波动的。

模拟方法

（这里的表述来自维基百科，其思想似乎和CSDN都是一样的）对于一个泊松点过程，通常在一个边界区域中完成，我们大致需要两步：①创建随机点数②以适当的方式随机布点

创建随机点数

随机点数W的模拟通过随机数生成功能能够模拟泊松随机变量，这里程序对应着 %%% Part1 %%% 。具体方法来源于CSDN

这里等同于。

点的位置分布

对于常规的二维平面或者三维空间（可以理解为矩形或者立方体吧❓），每个坐标均匀的分布在区域中，也就是通过均匀分布的方法。如果是非笛卡尔子空间（如球体或者球表面），则不会是均匀地放置并且需要适当的更改坐标（无详解）

程序

2D&3D PPP，参考链接

%%% Part1 %%%
Lambda = 20;  % Lambda:poisson(Lambda)
u = unifrnd(0,1)
M = 0;
while u >= exp(-Lambda)%判定条件
    u = u*unifrnd(0,1);
    M=M+1;
end 
    %取点个数
R = poissrnd(Lambda,1,M) 

%%% Part2 %%%
a = 0; c = 0;
b = 100; d =100;
e = 0; f = 100;     %取[0,100]*[0,100]的布点区域；
Nall = M;
% A = [];
% B = [];
while M > 0         %scatter in the [0,100]*[0,100]
    M = M-1;
    u1 = unifrnd(0,1);
    A(Nall-M) = (b-a)*u1;
    u2 = unifrnd(0,1);
    B(Nall-M) = (d-c)*u2;
    u3 = unifrnd(0,1);
    C(Nall-M) = (f-e)*u3;
    figure(1)    %base stations 分布图
    plot3(A(Nall-M),B(Nall-M),C(Nall-M),'r^');
    hold on;
    plot(A(Nall-M),B(Nall-M),'b.')
    hold on
end
grid on

泊松簇过程PCP，参考链接

%泊松簇过程仿真
%父过程
lambda = 10;                       % 密度
M = 0;
U = unifrnd(0,1);

while U >= exp(-lambda)           %判定条件
   U = U*unifrnd(0,1);
   M=M+1;
end 

if M < 1
   M = 1;
end

L = 100;
a = 0;b = L;      %取[0,100]*[0,100]*[0,100]的布点区域；
c = 0;d = L;
A = zeros(1,M);
B = zeros(1,M);
for i = 1:M 
    U1 = unifrnd(0,1);
    A(i) = (b-a)*U1;
    U2 = unifrnd(0,1);
    B(i) = (d-c)*U2;
    plot(A(i),B(i),'r^');
    hold on;
end
grid on;

%子过程
for j=1:M
    n = 50;
    r = 8;
    u1 = zeros(1,n);
    u2 = zeros(1,n);
    R = zeros(1,n);
    x = zeros(1,n);
    y = zeros(1,n);
    theta = zeros(1,n);

    for i = 1:n
        u1(i) = unifrnd(0,1);
    end

    R = r * sqrt(u1);
    R = sort(R);

    for i = 1:n
        u2(i) = unifrnd(0,1);
    end

    theta = 2*pi*u2;

    for i = 1:n
        x(i) = A(j) + R(i) * cos(theta(i));
        y(i) = B(j) + R(i) * sin(theta(i));
    end
    plot(x,y,'.b');
end

axis([-10,110,-10,110]);

自己结合的二维泊松点过程后再画Voronoi图的程序（可实现Delaunay三角划分）

%%自己综合的程序，维诺泊松图

%%% Part1 %%%
Lambda = 40;  % Lambda:poisson(Lambda)
u = unifrnd(0,1);
M = 0;
while u >= exp(-Lambda)%判定条件
    u = u*unifrnd(0,1);
    M=M+1;
end 

%%% Part2 %%%
a = 0; c = 0;
b = 100; d =100;     %取[0,100]*[0,100]的布点区域；
Nall = M;
% A = [];
% B = [];
while M > 0         %scatter in the [0,100]*[0,100]
    M = M-1;
    u1 = unifrnd(0,1);
    A(Nall-M) = (b-a)*u1;
    u2 = unifrnd(0,1);
    B(Nall-M) = (d-c)*u2;
    plot(A(Nall-M),B(Nall-M),'r^')
    hold on
end
%%画出voronoi图
voronoi(A',B','--');
%%画出delaunay三角剖分图
%%C=[A' B'];
%%DT=delaunayTriangulation(C);
%%triplot(DT,'r')

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