高考数学中的设而不求

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什么是设而不求？

      在数学解题过程中，有时需要设立一些题目中没有直接给出的中间变量，
     
     这些中间变量可以适时消除而不用求出，对最终解决问题往往起着
     重要的衔接与纽带作用，这就是“设而不求”.

设：运算的对象、方向

设：运算的对象、方向 通过设来翻译体现条件，把设看成已知，增加条件辅助推动解题进程.

  • 敢设,主动地设
  • 会设,合理地设

敢设,主动地设

例题1 在平面四边形 中, 已知 , , 则 的值为.

会设,合理地设

例题2 (21年新高考I卷第21题) 在平面直角坐标 中,

已知点 ,

点 满足 . 记 的轨迹为 .

(1) 求 的方程;

(2) 设点 在直线 上, 过 的两条直线分别交 于 两点和 两点，

且 , 求直线 的斜率与直线 的斜率之和.

斜率之和 关于的一元二次方程

分析： 设 ，

设直线 的方程为 ，

设 , 将直线 方程代入 的方程化简并整理可得，

由韦达定理有，

例题3 (2021全国甲卷第20题)设抛物线 ；设 是 上的三个点，直线 均与 相切.判断直线 与 的位置关系，并说明理由.

分析：当 都不是坐标原点时，即 ，

直线 的方程为 ，

此时有， ，即

例题4 (21年八省联考7）已知拋物线 上三点 , 直线 是圆 的 两条切线, 则直线 的方程为 ( ) A.
B. C. D.

直曲联立，设点驱动，

设点设哪个点，设线设哪条线

一旦设出来，大致的解题方向就确定了，要有算法思想引领

求：运算的目标、策略

求：运算的目标、策略 求是通法，知道求才会不求；不求是技巧，是抵达目标的捷径或迂回.

  • 不愿求也不怕求
  • 不能求不求也求

不愿求也不怕求

例题5 已知椭圆 的离心率为 , 且过点 (1) 求 的方程; (2) 点 在 上, 且 为垂足. 证明: 存在定点 , 使得 为定值.

常见的非对称结构

  • 模型1：形如的结构
  • 模型2：形如的结构
  • 模型3：形如的结构
  • 模型4：形如 的结构

例题6 已知椭圆,过的直线交椭圆于两点(位于下方) (1)研究,,, 的变化.

分析}(1)blockformula_editor\text{联立}\left\{\begin{array}{l}y=k x+4 \\ \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.

blockformula_editor\begin{array}{c}\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{(k x+4)^{2}}{4}=1 \\ \left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}\right) x^{2}+2 k x+3=0 \\ \Delta>0 \text { 时 } \\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2 k}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}} \\ x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{3}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}\end{array}

\end{frame}

\textbf{思路1.设而求之}

不妨设,则

blockformula_editorx_{1}=\frac{-2 k+\sqrt{\Delta}}{2\left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}\right)},x_{2}=\frac{-2 k-\sqrt{\Delta}}{2\left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}\right)}

blockformula_editor\begin{aligned} \frac{x_{1}}{x_{2}} &=\frac{-2 k+\sqrt{\Delta}}{-2 k-\sqrt{\Delta}} \\ &=\frac{2 k+\sqrt{\Delta}-4 k}{-2 k-\sqrt{\Delta}} \\ &=\frac{4 k}{2 k+\sqrt{\Delta}}-1 \\ &=\frac{4 k}{2 k+\sqrt{k^{2}-\frac{4}{3}}}-1 \\ &=\frac{4}{2-\sqrt{1-\frac{4}{3 k^{2}}}}-1 \\ & \in(1, 3) \end{aligned}

思路2.配对变成对称式

blockformula_editor\frac{P A}{P B}=\frac{x_{1}}{x_{2}}=\lambda

blockformula_editor\lambda+\frac{1}{\lambda}=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}}=\frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}}

思路3.基本量，代入减元

x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}} \label{} 
x_{1} x_{2}=\frac{3}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}} \label{} 
x_{1}=\lambda x_{2}

联系(1)(3)可得：

blockformula_editorx_{1} x_{2}=\frac{4\lambda k^{2}}{(\lambda+1)\left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{2}{9}\right)^{2}}=\frac{3}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}

blockformula_editor\frac{4 \lambda}{\lambda+1}=\frac{3\left(\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}\right)}{k^{2}}

思路4.设点驱动，整体消元

blockformula_editor\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P B}, \quad \lambda>1

y_{1}-4=\lambda\left(y_{2}-4\right)  \label{}
\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{y_{1}^{2}}{4}=1   \label{}\\
\frac{x_{2}^{2}}{9}+\frac{y_{2}^{2}}{4}=1  \label{}

将(1)(2)代入(3)得

blockformula_editor\dfrac{\lambda^{2} x_{2}^{2}}{9}+\dfrac{\left(\lambda y_{2}+4-4 \lambda\right)^{2}}{4}=1

blockformula_editor\lambda^{2}\left(\frac{x_{2}^{2}}{9}+\frac{y_{2}^{2}}{4}\right)+2 \lambda(1-\lambda) y_{2}+4(1-\lambda)^{2}=1

blockformula_editor\lambda^{2}-1+2 \lambda(1-\lambda) y_{2}+4(\lambda-1)^2=0

blockformula_editor\begin{array}{l}\lambda-1 \neq 0 \\ \lambda+1+(-2 \lambda) y_{2}+4(\lambda-1)=0 \\ y_{2}=\frac{5 \lambda-3}{2 \lambda} \leqslant 2 \\ 5 \lambda-3 \leqslant 4 \lambda \\ \lambda \leqslant 3 \\ \therefore \quad 1<\lambda \leqslant 3\end{array} \end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{} \begin{exampleblock}{例题6} 已知椭圆,过的直线交椭圆于两点(位于下方)

(2)若轴与椭圆交于两点(位于下方)，若弦与弦的交点位于椭圆内部，

问点具有怎样的运动特征. \end{exampleblock} \begin{figure}[h] \includegraphics[width=3cm]{screenshot002.png}\centering \end{figure}
\end{frame}

分析

blockformula_editor\frac{y-2}{y+2}=\frac{k x_{1} x_{2}+2 x_{2}}{k x_{1} x_{2}+6 x_{1}}

\textbf{思路1.设而求之：用表示，代入减元}

blockformula_editor\frac{y-2}{y+2}=\frac{k x_{1} x_{2}+2 x_{2}}{k x_{1} x_{2}+6 x_{1}}=\dfrac{\frac{3 k}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}+\frac{-2 k-\sqrt{\Delta}}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}}{\frac{3 k}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}+\frac{-6 k+3 \sqrt{\Delta}}{\frac{k^{2}}{4}+\frac{1}{9}}}=\frac{k-\sqrt{\Delta}}{-3 k+3 \sqrt{\Delta}}=-\frac{1}{3}

\end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{} \textbf{ 思路2.消去}

所以，.

\end{frame}

思路3.待定系数，将分子配成对称式

()

思路4.齐次化消元

\textbf{思路5.先猜(极点极线)后证，目标是对称式}

blockformula_editory=1\Leftarrow\dfrac{k x_{1} x_{2}+2 x_{2}}{k x_{1} x_{2}+6 x_{1}}=-\frac{1}{3} blockformula_editor\Leftarrow-3 k x_{1} x_{2}-6 x_{2}=k x_{1} x_{2}+6 x_{1}\Leftarrow 2 k x_{1} x_{2}=-3\left(x_{1}+x_{2}\right)

例题7 已知椭圆的标准方程：,点在第四象限，为左顶点，为上顶点，交轴于点,交轴于点. 求面积的最大值.

分析： \begin{block}

<span data-formula="PA:y=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}(x+2) \quad \text {令} x=0 ,\quad y=\frac{2 y_{0}}{x_{0}+2} ,\quad \text {所以} C\left(0, \frac{2 y_{0}}{x_{0}+2}\right)" aria-hidden="true"></span>

<span data-formula="PA:y=\frac{y_{0}-1}{x_{0}}(x+2) \quad \text {令} y=0 ,\quad x=\frac{x_{0}}{1-y_{0}} ,\quad \text {所以} D\left(\frac{x_{0}}{1-y_{0}}, 0\right)" aria-hidden="true"></span>

<span data-formula="\begin{aligned} \text {所以} S_{\triangle PCD} &=S_{\triangle PAD}-S_{\triangle CAD} \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{x_{0}}{1-y_{0}}+2\right)\left(\frac{2 y_{0}}{x_{0}+2}-y_{0}\right) \\ &=\frac{1}{2} \frac{\left(x_{0}-2 y_{0}+2\right)\left(-x_{0} y_{0}\right)}{\left(1-y_{0}\right)\left(x_{0}+2\right)}  \end{aligned}" aria-hidden="true"></span> 

	\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{} \textbf{思路1.设而求之，代入减元}

由可得

当且仅当时取. \end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{} \textbf{思路2.平方处理}

令

令

. \end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{}

\textbf{思路3.和、积、平方和整体代换}

,\quad

\end{frame}

思路4.四边形的面积是定值，转化为求的最大值 }

，因此，只要求的最大值即可.

不愿求也不怕求

例题8 已知椭圆的右焦点,点在椭圆上且在第一象限内，直线与圆相切于点. (1)求的取值范围; (2)若,求点纵坐标的值.

解析：(1)

设blockformula_editorP\left(x_{0}, y_{0}\right) \quad P M=\sqrt{P_{0}^{2}-r^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-3}=\sqrt{x_{0}^{2}+3-\frac{3}{4} x_{0}^{2}-3}=\frac{1}{2} x_{0}

blockformula_editorP F=a-e x_{0}=2-\frac{1}{2} x_{0}

blockformula_editor\therefore P M \cdot P F=\frac{1}{2} x_{0}\left(2-\frac{1}{2} x_{0}\right)=-\frac{1}{4} x_{0}^{2}+x_{0} ,\quad 0<x_{0}<2

blockformula_editor\therefore \quad P M \cdot P F \in(0,1)

\end{frame}

\textbf{解析：(2)}当不垂直于轴时，

设

设

因为与圆相切，所以

联立得

\end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{} \textbf{(2) 思路1}.当不垂直于轴时，

设

设

因为与圆相切，所以

所以

联立得

所以

当垂直于轴时，

综上，的纵坐标.

\end{frame}

\begin{frame}{不愿求也不怕求}\label{}

\textbf{ 思路2.}

O

\end{frame}

\begin{frame}{不能求不求也求}\label{} \begin{exampleblock}{例题9} 若函数有两个极值点

求证：

(1)

(2) .

\end{exampleblock}

\textbf{分析：}

\end{frame}

\begin{frame}{不能求不求也求}\label{}

先要掌握显零点问题，才能掌握隐零点问题

一点感悟

  • “设而不求”不是固定的模式程序，应该是代数变形，整体结构，减元消元，几何性质等基本方法熟能生巧的体现.

  • “设”是思想，“不求”是技巧.

  • 曾国藩：天下之至拙，能胜天下之至巧.

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