元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛：个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会。比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级。团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛． 方式一：将班级团队选派的个人平均分成组，每组2人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功． 方式二：将班级团队选派的个人平均分成2组，每组人．电脑随机分配给同一组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这2个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功． （1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率； （2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．
(1) 设甲同学正确配对 3 对为事件 , 正确配对 5 对为事件 , 甲同学能晋级为事件 ,
则 , 且 互斥.
因为甲同学只有一组能正确配对, 其余四组都随机配对,则 blockformula_editorP(A)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{~A}_{4}^{4}}=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{\mathrm{~A}_{4}^{4}}=\frac{1}{24}
从而 blockformula_editorP(C)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{24}=\frac{7}{24}
所以甲同学能晋级的概率为 .
(2) 设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为 .
当选择方式一时, 因为两人都回答错误的概率为 , 则两人中至少有一人回答正确的概率为
, 所以 blockformula_editorP_{1}=\left[1-(1-p)^{2}\right]^{n}=p^{n}(2-p)^{n}.
当选择方式二时, 因为一个小组鸠关成功的概率为 , 则一个小组问关不成功的概率为 ,
所以 blockformula_editorP_{2}=1-\left(1-p^{n}\right)^{2}=p^{n}\left(2-p^{n}\right).
所以 blockformula_editorP_{1}-P_{2}=p^{n}(2-p)^{n}-p^{n}\left(2-p^{n}\right)=p^{n}\left[(2-p)^{n}+p^{n}-2\right].
方法1.将看成主元
设
则 blockformula_editor f(n+1)-f(n)=(2-p)^{n+1}+p^{n+1}-(2-p)^{n}-p^{n}
blockformula_editor=(2-p)^{n}(1-p)+p^{n}(p-1)=(1-p)[(2-p)^{n}-p^{n}]
因为 ,
从而
所以, 即
所以 单调递增.
因为 blockformula_editor f(2)=(2-p)^{2}+p^{2}-2=2 p^{2}-4 p+2=2(p-1)^{2}>0
则当 时,,
从而 ,即 . 所以为使本班挑战成功的可能性更大, 应选择方式一参赛.
方法2.将看成主元
设
则
方法3.二项式定理
方法4.琴生不等式
\therefore \frac{(2-p)^n+p^n}{2}>\left(\frac{2-p+p}{2}\right)^n
方法5.幂平均不等式
blockformula_editorM_{\lambda}\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=\left(\frac{a_{1}^{\lambda}+a_{2}^{\lambda}+\cdots+a_{n}^{\lambda}}{n}\right)^{\frac{1}{\lambda}}随着值的增大，次幂平均值也随之增大.
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