弹性力学
体力 面力 内力
外力(external forces)(其他物体对研究对象所作用的力)
体力(body forces)：作用于物体体积内的力。（自重、惯性力） (表示)以单位体积内所受的力来度量。 —体力在方向上的分量 —体力在方向上的分量 —体力在方向上的分量 量纲 符号：坐标正向为正 牛顿第二定律： 力的量纲等于质量乘以加速度的量纲,体力等于力除以体积即长度的三次方 基本量纲 ：质量 时间 长度 导出量纲：三个基本量纲组合所成
面力(surface forces)：作用于物体表面的力。 (表示)以单位面积内所受的力来度量，，。 量纲 符号：坐标正向为正
内力(internal forces)(研究对象内部物体相互作用的力)
应力(stress)
定义：截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。 量纲： 表示：—面上沿向正应力(normal stress) —面上沿向切应力(shear stress) 切向应力(shear stress) 法向应力(normal stress) 应力三要素：大小、方向、作用面 符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正坐标面正向、负坐标面负向为正； 坐标面： 坐标面：外法线于轴平行的面 正坐标面：外法线与轴正向一致 负坐标面：外法线与轴正向相反
应变 位移
应变
形变：形状的改变，以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和切应变来表示 一点的应变是指坐标正向微分线段的正应变，就是单位长度的改变量；还有坐标正向线段的角度改变，就称为切应变 正应变 ,以伸长为正 ：方向微分线段的单位长度改变 ：方向微分线段的单位长度改变 ：方向微分线段的单位长度改变 量纲：单位长度的改变，长度除以长度是1，它的量纲是单位1。 切应变：是坐标向正向线段的角度改变 切应变：以使轴正向和轴正向组成的直角减小为正，用弧度表示 正的切应力引起正的切应变，负的切应力对应的就是负的切应变
位移
定义：一点位置的移动，用,表示，量纲为长度L，以坐标正向为正。 位移分量一般使用,，来表示，表示方向的位移，表示方向的位移，表示方向的位移。
基本假定(五个基本假定)
对材料性质的假定
（1）连续性(continuos)：假定物体是连续的，因此各物理量可用连续函数表示 （2）完全弹性(perfectly elastic):假定物体是： 1):完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形 2):线性弹性—应力与应变成正比，因此应力与应变关系可用胡可定律表示 （3）均匀性(Homogeneous):假定物体由同种材料组成，因此，等与位置无关 （4）各向同性(Isotropic):假定物体各向同性，因此，等与方向无关 理想弹性体：满足上述四条假定的弹性体，弹性力学研究对象肯定是弹性体，并且是理想弹性体
对变形状态的假定
（5）小变形假定(Small deformation)：假定位移和应变为很小 1):位移<<物体尺寸 2):，<<1 小变形假定的应用： a.简化平衡微分方程：考虑微分体平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，使平衡微分方程为线性方程。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于,可以略去等项，使几何方程为线性方程
第二章 平面问题的基本理论
平面问题(Plane Problem)
空间问题： 位移：,, 应力：，，，=，=，= 应变：，，，，， 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均有; 弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均有; 平面应力问题(Plane Stress Problem): (1)等厚度的薄板 (2)体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变； (3)面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变； (4)约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变； 平面应变问题(Plane Strain Problem): (1)很长的常截面柱体 (2)体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； (3)面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变； (4)约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；
，只有, （平面位移问题） =0 ,=0，,,只有 ，， (平面应力问题)
平衡微分方程(Differential Equations of Equilibrium)
应用的基本假定： 连续性假定-应力用连续函数来表示 小变形假定-用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示
(https://cdn.limfx.pro/-img-bf3c9d43-66a1-4af0-b7b5-a93ec30e1a89-articles-edfe9b81-306a-4781-9a97-a62ad2e8aa2c-articelcontent-b14ea4a2-e476-48f1-a3fc-427159292df7/平面微分体.jpg)
, . 其中一阶微量抵消，并除以得： ，同理可得： ，得： 当时，得切应力互等定理： 平面问题的平衡微分方程 对平衡微分方程的说明： （1）代表物体A中所有点的平衡条件，因为； （2）适用的条件--连续性、小变形； （3）应力不能直接求出； （4）对两类平面问题的方程相同。 （5）理论力学、材料力学、弹性力学中平衡的比较： 理论力学考虑整体V的平衡 材料力学考虑有限体V的平衡 弹性力学考虑微分体的平衡
一点的应力状态(Stress at a Point)
(https://cdn.limfx.pro/-img-bf3c9d43-66a1-4af0-b7b5-a93ec30e1a89-articles-edfe9b81-306a-4781-9a97-a62ad2e8aa2c-articelcontent-be92307f-d0f9-4f23-9787-321ed060e9c2/平面一点应力状态.jpg)
方向余弦： ，
主应力：
最大、最小应力： ， ,发生在与主应力成的斜面上
几何方程(Geometrical Equations)
几何方程：表示任一点的微分线段上应变与位移之间的关系。
(https://cdn.limfx.pro/-img-bf3c9d43-66a1-4af0-b7b5-a93ec30e1a89-articles-edfe9b81-306a-4781-9a97-a62ad2e8aa2c-articelcontent-8a331b67-b7a2-4994-9986-9a950c6703dc/微分段位移.jpg)
点位移： 点位移： 点位移：
线应变： 转角：
线应变： 转角：
平面问题的几何方程：
刚体位移(Rigid-Body Displacement)
若已知应变，求位移 表示 方向的刚体平移 表示物体绕坐标原点的刚体转动
物理方程(Physical Equations)
广义胡克定律(Generalized Hooker Law)：
弹性模量(Modulus of Elasticity) 泊松比(Poisson's Ratio) 剪切模量(Shear Modulus) 适用条件：理想弹性体
平面应力问题的物理方程(Physical Equations of Plane Stress Problem)： 将代入广义胡可定律得： 在方向
平面应变问题的物理方程(Physical Equations of Plane Strain Problem)： 将代入广义胡可定律得： 在方向
位移边界条件(Displacement Boundary Conditions) 边界条件：表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系 位移边界条件：设在部分边界上给定位移分量和,则有
应力边界条件(Stress Boundary Conditions)
圣维南原理(Saint-Venant's Principle)
在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响
按应力求解（应力法）(Solution inTerms of Stresses) 取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和应变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求出应力和位移。
按位移求解（位移法）(Solution in Terms of Displacements) 取为基本未知函数；将其它未知函数用表示
弹性方程(Elastic Equations)
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