§张, 线性无关

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def.向量组(a list of vectors)

VV中的几个向量(有限或无限)写在一起, 用逗号隔开, 形如v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n, 其中每个向量属于VV, 称为一个向量组

一个向量组中向量的个数称为这个向量组的长度

def.线性组合(linear combination)

对于F\mathbb F上的线性空间VVv1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n, 称以下的的形式
a1v1+a2v2+⋯+anvna_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n
为向量组v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n的线性组合, 其中ai∈V,∀ia_i \in V, \forall i.
空向量组张成的空间我们人为定义为{0}\{0 \}.

现在我们可以重新考虑子空间的定义, 我们可以重新定义其为对线性组合封闭的非空集合与原空间上的运算.

def.一个向量组张成的空间(span)

定义向量组v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n张成的空间为这个向量组所有的线性组合, 即
span(v1,v2⋯vn):={v1,v2⋯vn的所有线性组合}={a1v1+a2v2+⋯+anvn:ai∈F,∀i}span(v_1, v_2 \cdots v_n) := \{v_1, v_2 \cdots v_n的所有线性组合\} \\= \{a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n: a_i \in \mathbb F, \forall i\}

验证这个定义是良定义的, 即验证一个向量组的所有线性组合UU构成一个线性空间.

  • 封闭性: 对于u1,u2∈Uu_1, u_2 \in U, 记ui=∑1≤j≤naijvj∈U,i=1,2u_i = \sum \limits_{1 \leq j \leq n} a_{ij} v_j \in U, i = 1,2. 验证λ1u1+λ2u2∈U\lambda_1 u_1 + \lambda _2 u_2 \in U即可.
    显然, λ1u1+λ2u2=λ1∑a1jvj+λ2∑a2jvj=∑(λ1a1j+λ2a2j)vj∈U\lambda _1 u_1 + \lambda _2 u_2 = \lambda _1 \sum a_{1j} v_j + \lambda _2\sum a_{2j} v_j = \sum (\lambda _1 a_{1j} + \lambda _2 a_{2j}) v_j \in U

  • 零元: 由于这个集合显然非空, 零元存在这一点自动成立.

cor.

一个向量组张成的空间是被属于这个向量组的最小子空间, 即任何包括这个向量组的任何线性空间都包含这个向量组张成的空间.

proof
这个事实是显然的. 因为由子空间对线性组合的封闭性, 任何被属于这个向量组的线性空间都被属于这个向量组的任何线性组合, 也就包含这个向量组张成的线性空间. □\square

def.张(spans)

span(v1,v2⋯vn)=Vspan(v_1, v_2 \cdots v_n) = V, 我们称v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n张成(spans)VV.
这里用单三, 因为向量组被我们看作一个单独的对象.

ex.

span(e1,e2⋯en)=Fnspan(e_1, e_2 \cdots e_n) = \mathbb F^n, 其中
ei=(0,0⋯ ,1,⋯0)↑ith⁡\begin{aligned} e_i = (0, 0 \cdots, &1, \cdots 0)\\ &\uparrow\\ &i \th \end{aligned}

proof
Fn={(x1,x2⋯xn):xi∈F,∀1≤i≤n}\mathbb F^n = \{(x_1, x_2 \cdots x_n): x_i \in \mathbb F, \forall 1 \leq i \leq n\}, 对于其中的每个向量vv, 有
v=(x1,x2⋯ ,xn)=∑ixieiv = (x_1, x_2 \cdots , x_n) = \sum \limits_{i} x_i e_i
Fn⊆span(v1,v2⋯vn)\mathbb F^n \subseteq span(v_1, v_2 \cdots v_n), 相反方向的属于也成立因为eie_iF\mathbb{F}中的向量, 故其张成的空间是Fn\mathbb F^n的子空间, 故这两个空间相同. □\square

def.有限维线性空间(finite-dimentional vector space)

VV是一个有限维线性空间, 若存在有限长的向量组能张成VV

上面那个例子中, 我们发现Fn\mathbb F^n是有限维线性空间, 因为(e1,e2⋯cn)(e_1, e_2 \cdots c_n)的长度是nn, 是有限的.

对于以后提到的线性空间, 如果没有特殊说明, 我们总假设它是有限维的.

def.数域上的多项式(polynomial)

对于数域F\mathbb F, 称如下的形式为一个zzF\mathbb F系数多项式
p(z)=a0+a1z+⋯+anznp(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n
其中ai∈Fa_i \in \mathbb F, ∀i\forall i, zz是一个符号(可以替换为很多对象, 不知是数)
特殊地, 对于z∈Fz \in \mathbb F, 我们将p:F→Fp: \mathbb F \to \mathbb F组成的线性空间称作F\mathbb F上的多项式组成的空间, 记作P(F)\cal P(\mathbb F)

我们能很容易地验证P\cal P是线性空间, 也是FF\mathbb F^{\mathbb F}的子空间

  • 非空: 0∈P(F)0 \in \cal P(\mathbb F)

  • 封闭: (p1+p2)(z)=p1(z)+p2(z)=(a0+a1z+⋯+anzn)+(b0+b1z+⋯+bnzn)=(a0+b0)+(a1+b1)z+⋯+(an+bn)zn(p_1 + p_2)(z) = p_1(z) + p_2(z) = (a_0 + a_1 z + \cdots +a_n z^n) + (b_0 + b_1 z + \cdots + b_n z^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) z + \cdots + (a_n + b_n) z^n, 其中nn是两个多项式次数中较大者. 故p1+p2∈P(F)p_1 + p_2 \in \cal P(\mathbb F)

一个事实

多项式的系数与多项式一一对应

proof
一组系数只能与一个多项式对应, 这一点是显然的;
而对于一个多项式, 假设其对应于两组系数, 把二者相减得到0\bold{0}, 而 0\bold{0}的系数必然全为 00, 故两组系数相同.
由系数的唯一性, 我们可以定义一个多项式的阶(degree)

多项式的阶

对于一个多项式 pp, 一定存在一个 mm使得
p(z)=a0+a1z+⋯+amzmp(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^mam≠0a_m \ne 0. 对于这种多项式, 我们称其为 mm 阶多项式, 记为 deg⁡p\deg p.
人为规定 deg⁡0=−∞\deg 0 = - \infty

def. Pm(F)\cal P_m(\mathbb{F})

定义这样一个线性空间 Pm(F):={p∈P(F):deg⁡p≤m}\cal P_m(\mathbb{F}) := \{p \in \cal P(\mathbb F): \deg p \leq m \}

fact: Pm(F)\cal P_m(\mathbb F)是线性空间, 因为它是 P(F)\cal P(\mathbb F)的子集且封闭(这一点跟容易验证).

def.无限维线性空间

不是有限维的线性空间称为无限维线性空间

ex.

P(F),FS,FF\cal P(\mathbb F), \mathbb F^S, \mathbb F^\mathbb F都是无限维线性空间

线性无关

考虑 v∈span(v1,v2⋯vn)v \in span(v_1, v_2 \cdots v_n), 将其写成
v=a1v1+a2v2+⋯+anvnv = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_nvv也可以写成
v=c1v1+c2v2+⋯+cnvnv = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n 考虑这样一个等式
0=v−v=(a1−c1)v1+(a2−c2)v2+⋯+(an−cn)vn\bold{0} = v - v = (a_1 - c_1) v_1 + (a_2 - c_2) v_2 + \cdots + (a_n - c_n) v_n若这个等式只能是最平凡的情况即 aj−cj=0⇔aj=cja_j - c_j = 0 \Leftrightarrow a_j = c_j, 我们就管这种情况叫 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n线性无关.

def.线性无关

称一个向量组 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n线性无关, 若 0=a1v1+a2v2+⋯+anvn⇒aj=0,∀j\bold{0} = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n \Rightarrow a_j = 0, \forall j.
规定空向量组自动线性无关.

这个定义意思即是 0\bold{0} 只能被向量组 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n 以一种方式线性表出, 即 span(v1)⊕span(v2)⊕⋯⊕span(vn)span(v_1) \oplus span(v_2) \oplus \cdots \oplus span(v_n) 是直和.
我们可以很容易第推出这种定义与我们引出线性无关概念的方式也是等价的, 即 span(v1,v2⋯vn)span(v_1, v_2 \cdots v_n) 中每个向量表法都唯一.

ex.线性无关向量组

一个非零向量的向量组自动线性无关
两个向量线性无关的充要条件是两者互相都不是对方乘以某一个数
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)(1, 0 ,0 ,0),(0, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0)线性无关
1,z,z2,z31, z, z^2, z^3P(F)\cal P( \mathbb{F})中的一组线性无关向量

fact
一个线性无关向量组去掉若干向量后仍线性无关

proof
经过重排, 假设去掉的是长度为 nn 的向量组中的后 n−mn - m 个, 即去掉后还剩下前 mm个.
v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n 线性无关可知 a1v1+a2v2+⋯anvn=0⇒ai=0,∀ia_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots a_n v_n = 0 \Rightarrow a_i = 0, \forall i. 考虑 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n 的线性无关性.
b1v1+b2v2+⋯bmvm=0⇒(b1v1+b2v2+⋯bnvn=0)∧(bm+1=bm+2=⋯=bn=0)⇒bi=0,∀i\begin{aligned} &b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots b_m v_m = \bold{0}\\ &\Rightarrow (b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots b_n v_n = 0) \wedge (b_{m+1}=b_{m+2}=\cdots=b_{n} = 0)\\ &\Rightarrow b_i = 0, \forall i \end{aligned}可见 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n 线性无关. □\square

def.线性相关

称一个向量组线性相关, 如果它不是线性无关的
即称向量组 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n 线性相关, 若 ∃a1,a2⋯an\exist a_1, a_2 \cdots a_n 使得 a1v1+a2v2+⋯anvn=0a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots a_n v_n = \bold{0}

  • 任何向量组中, 若存在一个向量可被其他向量线性表出, 则其一定线性相关

  • 任何含有 0\bold{0} 的向量组都是线性相关的

这两个事实是显然的

lem.1

a) 对于一个线性相关向量组 v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n, 一定存在一个 mm 使得 vmv_m 可被 v1,v2⋯vm−1v_1, v_2 \cdots v_{m-1} 线性表出.
b) 对于这样的 vmv_m , 这个向量组去掉 vmv_m 之前与之后张成的空间相同.

proof
对于第一个命题, 我们证明它的逆否命题. 即: 若一个向量组的每个向量都不能被它之前的所有向量线性表出, 则它是一个线性无关向量组.
我们用数学归纳法, 向量组长度为 0011 的情况平凡(对于长度为 11 的情况, 我们认为 0\bold{0} 可被空向量组表出, 故这种情况是成立的)
长度为 22 的情况: v1v_1 不能被其前面的向量组线性表出, 即不能被空向量组线性表出, 保证了 v1≠0v_1 \ne \bold{0} , v2v_2 不能被 v1v_1 线性表出, 即 v2≠bv1,∀b∈Fv_2 \neq b v_1 , \forall b \in \mathbb F .
对于第二个命题, 我们考虑vm=a1v1+a2v2+⋯+am−1vm−1v_m = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_{m-1} v_{m-1}, 故
span(v1,v2⋯vn)={b1v1+b2v2⋯bnvn:bi∈F}=b1v1+⋯bm(∑1≤j≤m−1ajvj)+⋯+bnvn={(b1+a1)v1+⋯+(bm−1+am−1)vm−1+⋯bnvn:ai,bi∈F,∀i}⊆span(v1,v2⋯vm−1,vm+1⋯vn)\begin{aligned} span(v_1, v_2 \cdots v_n) &= \{b_1 v_1 + b_2 v_2 \cdots b_n v_n: b_i \in \mathbb{F} \} \\ &= {b_1 v_1 + \cdots b_m(\sum \limits_{1 \leq j \leq m-1}a_j v_j) + \cdots + b_n v_n}\\ &= \{(b_1 + a_1)v_1 + \cdots + (b_{m-1} + a_{m-1})v_{m-1} + \cdots b_n v_n : a_i, b_i \in \mathbb F, \forall i \}\\ &\subseteq span(v_1, v_2 \cdots v_{m-1}, v_{m+1} \cdots v_n) \end{aligned}相反方向的包含关系是显然的, 所以二者相等. □\square

a)的逆否命题是: 若一个向量组的每个向量都不能由前面的向量线性表出, 则其线性无关. 可以立即得出一个推论, 若有一线性无关向量组v1,v2⋯vnv_1, v_2 \cdots v_n, 且vn+1∉span(v1,v2⋯vn)v_{n+1} \notin span(v_1, v_2 \cdots v_n), 有v1,v2⋯vn+1v_1, v_2 \cdots v_{n+1}还是线性无关的.

lem.线性无关组长度不能超过张成空间向量组长度

线性空间VV中的每个线性无关组的长度小于任意能张成这个线性空间的向量组的长度(后面我们会看到这个长度是唯一的)
V=span(v1,v2⋯vn)V = span(v_1, v_2 \cdots v_n)中的每个线性无关组的长度小于nn.

proof
假设span(v1,v2⋯vn)span(v_1, v_2 \cdots v_n)中有一线性无关组u1,u2⋯umu_1, u_2 \cdots u_m, 其长度mm大于nn.
首先我们知道ui≠0,∀iu_i \ne \bold {0}, \forall i, 否则这个向量组直接线性相关, 矛盾
我们以这样的步骤构造一个向量组:

  • 11, 考虑如下的向量组
    u1,v1,⋯vnu_1, v_1, \cdots v_nlem.1,a)lem.1,a)可知, 一定存在一个向量能被前面的向量线性表出. 且这个向量不是u1u_1, 否则与u1u_10\bold {0}矛盾. 故一定是某个vkv_k能被前面的向量线性表出, 由引理的b)b)款可以知道, 去掉这个向量之后仍能张成原来的线性空间. 将去掉后剩下的vv重新排序(因为vv的顺序在这个证明中是不重要的)为v1,v2⋯vk−1,vk+1⋯vn:=v2,v3⋯vnv_1, v_2 \cdots v_{k-1}, v_{k+1} \cdots v_n := v_2, v_3 \cdots v_{n}, 有
    span(u1,v2⋯vn)=Vspan(u_1, v_2 \cdots v_{n}) = V

  • 第j步
    假设向量组u1,u2⋯uj−1,vj⋯vnu_1, u_2 \cdots u_{j-1}, v_{j} \cdots v_n能张成VV, 考虑向量组
    u1,u2⋯uj,vj⋯vnu_1, u_2 \cdots u_{j}, v_{j} \cdots v_{n}则一定存在一个向量能被前面的向量线性表出, 而这个向量一定不是uu, 否则与u1,u2⋯umu_1, u_2 \cdots u_m线性无关矛盾, 故一定是某个vv可以被前面的向量线性表出. 把它去掉后仍能张成VV, 将其重排后记为
    u1,u2⋯uj,vj+1⋯vnu_1, u_2 \cdots u_{j}, v_{j+1} \cdots v_{n}

如此进行nn步, 我们得到
span(u1,u2⋯un)=Vspan(u_1, u_2 \cdots u_n) = VV∋un+1V \ni u_{n+1}可被u1,u2⋯unu_1, u_2 \cdots u_n线性表出, 说明这是一个线性相关向量组. □\square

ex.

(0,1),(1,3),(3,5)(0, 1), (1,3), (3,5)一定线性相关, 因为R2=span((1,0),(0,1))\R^2 = span((1,0), (0,1)),只有两个向量.

cor.有限维线性空间的子空间也是有限维的

VV是有限维线性空间, U⊆VU \subseteq V, 则UU也是有限维的

proof
要证UU是有限维的, 即找一个有限长度的向量组张成UU. 由于VV是有限维的, ∃v1,v2⋯vn\exist v_1, v_2 \cdots v_n使得V=span(v1,v2⋯vn)V = span(v_1, v_2 \cdots v_n)
U={0}U = \{\bold {0}\}, 则空向量组能张成UU, 直接成立

  • UU中有非零向量u1u_1, 则u1u_1自己线性无关, 如果U=span(u1)U = span(u_1), 则UU为有限维的, 否则至少有一U∋u2∉span(u1)U \ni u_2 \notin span(u_1), 将u2u_2添加到向量组中. 由于u2u_2不能被前面的向量线性表出, 故这个向量组还是线性无关的.

  • 若已经找到了kk个向量u1,u2⋯uku_1, u_2 \cdots u_k, 若U=span(u1,u2⋯uk)U = span(u_1, u_2 \cdots u_k), 直接有限维, 否则至少有一uk+1∉span(u1,u2⋯un)u_{k+1} \notin span(u_1, u_2 \cdots u_n), 将uk+1u_{k+1}添加至向量组, 这还是一个线性无关的向量组.

若如此进行到第n+1n+1步还没停止(如果停止了直接就是有限维), 则有一线性无关向量组u1,u2⋯un∈Vu_1, u_2 \cdots u_n \in V, 矛盾, 故最多nn步就会停止. 故UU一定为有限维线性空间. □\square