平衡三进制系统

介绍

平衡三进制系统 (Balanced Ternary System) 是一种独特的计数系统，由 -1,0,1 构成的，它的基数是 3（有三个可能的值）。由于将 -1 写成数字不方便，下面将使用字母来代替 -1，同时在本文中也用“+0-”符号，其三值布尔逻辑为：上（+1为TRUE）、下（-1为FALSE）、偶（0为BOTH），它与现代计算机中使用的二进制系统在数字编码原理上是相通的，都属于位权计数法。

特征	二进制 (Binary)	平衡三进制 (Balanced Ternary)
基数 (Base)	2	3
位值 (Digit/Trit)	"{0,1} (比特/bit)"	"{−1,0,1} (特征/trit)"
位权重 (Weight)

二进制编码

平衡三进制	二进制编码
-	10
0	00
+	01

整数的表示

我们可以计算一个位三进制数（-trit number）的值，其方法类似于计算一个位二进制数（-bit number）的值。其中N表示十进制数，其中n-1的n为平衡三进制的数字个数，也就是说， blockformula_editorN = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i 3^i = \alpha_{n-1} 3^{n-1} + \alpha_{n-2} 3^{n-2} + \alpha_{i} 3^{i} +... + \alpha_1 3^1 + \alpha_0 其中是第个位置上的位值。

下面，以13, 237结合上述公式，举个例子： 111(平衡三进制)=1 + 1 + 1=9+3+1=13（十进制） 100T10(平衡三进制)=1+0+0+(-1)+1+0=243+0+0-9+3+0=237（十进制）

逻辑门

平衡三进制逻辑门，在运算中起着至关重要的作用，使用非门从数值上，可正数变负数，负数也可变为正数；从逻辑上，假命题变成真命题，真命题变成假命题，两者则保持不变；基于此特性，减法可转成加其相反数，乘除法又是加减法的扩展，一切运算皆是加法运算，而对其逻辑门输入或输出取反操作符合德摩根定律。

基础逻辑门

非门（0不变、1与T互取）

TNEG
-	+
0	0
+	-

或门（有1出1、双T出T、其余为0）

TOR	-	0	+
-	-	0	+
0	0	0	+
+	+	+	+

与门（有T出T、双1出1、其余为0）

TAND	-	0	+
-	-	-	-
0	-	0	0
+	-	0	+

或非门（有1出T、双T出1、其余为0）

TOR	-	0	+
-	+	0	-
0	0	0	-
+	-	-	-

与非门（有T出1、双1出T、其余为0）

TAND	-	0	+
-	+	+	+
0	+	0	0
+	+	0	-

德·摩根定律

平衡三进制的四个基础逻辑门真值表是对称的，你可以通过如下图所示的对输入取反（垂直箭头）或对输出取反（水平箭头）来转换它们。平衡三进制摩根定律
注释

你可以在任意基础逻辑门之间彼此转换，至多需要同时对输入及输出取反。
你可以通过对输出取反，在或门/或非门之间进行转换，这对与门/与非门同样成立。也可以通过对输入取反，在或非门/与门之间进行转换，这对或门/与非门同样成立。
对输出取反，会将真值表的每一位 T与1 对换。对输入取反，真值表会镜像翻转。

四则运算逻辑门

加法

Add	-	0	+
-	-+	0-	00
0	0-	00	0+
+	00	0+	+-

加法逻辑门

它基于三种核心逻辑门：加和门 TSUM、半加器进位门 TCONS、全加器进位门 TANY。其中，1个加和门与1个共识门组成半加器，而2个半加器与1个调和门组全加器，此结构类似于传统的二进制全加器，在前苏联的三进制计算机Сетунь有可能应用，在Douglas W. Jones的文章中也有提及，而减法则是被减数使用反相器，获得相反数后相加，统一为加法运算，真值表如下所示。

加和门（当TT/01/10时出1、当11/0T/T0时出T、其余为0）

TSUM	-	0	+
-	+	-	0
0	-	0	+
+	0	+	-

共识门（双T出T、双1出1、其余为0）

TCONS	-	+
-	-	0
0	0	0
+	0	+

调和门（当0T/T0时出T、当01/10时出1、其余为0）

TANY	-	0	+
-	空	-	0
0	-	0	+
+	0	+	空

减法

Sub	-	0	+
-	00	0-	-+
0	0+	00	0-
+	+-	0+	00

在平衡三进制中，可使用非门得其相反数，而减法相当于加上取反的被减数，这样就实现的加减法的统一运算，即减法器可用全加器与反相器组成。

乘法

Mul	-	+
-	+	-
0	0	0
+	-	+

乘法逻辑门

对异或门输出取反操作，得同或门在乘法运算中有用到，以下真值表。

异或门（双T 及双1出T、1T 及 T1出1、其余为0）

TXOR	-	+
-	-	+
0	0	0
+	+	-

同或门（双T 及双1 出1、1T 及 T1出T、其余为0）

TXNOR	-	+
-	+	-
0	0	0
+	-	+

平衡三进制 digit∈{T,0,1} 的乘法遵循严格对称性，其一位乘法完全无进位，三条核心规则即可覆盖所有情况：

吸收律，任意数0乘都得0
恒等律，任意数乘1等于它本身
取反律，任意数乘T(-1)等于相反数

其运算闭合集仅为 {T,0,1} 偏积表本身，如：T1T * 1110T，将被乘数形成[0,1110T,TTT01]偏积表，用乘数当成下标来调用偏积表，然后移位后相加就可以得到最终乘积。

除法（二重试商法）

Div	-	0	+
-	+		-
0	0	NaN	0
+	-		+

此方法由中国学者改进Donald Knuth的试商法而来，它有着极其简单的运算规则：用每轮除法余数最高位是否为0的条件，来判断这一轮除法是否结束，无需对比每轮余数大小，核心逻辑是将被除数拆分为两个向量（p和s），其中 p 的位数最多与除数 q 相同，s 则是剩余位数的向量；然后根据规则（双正或双负得正商，一正一负得负商，其它为0）上商，每轮除法至多一次或两次相减，若相减一次后，余数 p 最高位仍不为0，则需再相减一次，得余数 p 最高位为0本轮除法结束，该位是二重商取双倍值，并把结果给到寄存器 r；然后余数 p 左移一位，丢弃上一轮除数的最高位（已为0），拉取一位 s 进行补充，得到新余数 p 转入下一轮，结果 r (3倍放大)右移一位补0，则当s 用尽时，结果 r 和被除数 p 构成最终的商和余数。

以下部分示例：

                                      + 
         ++0-                        ++       
        --------                    ------
    +0- )+0++0+                  +- )+0+ 
         -0+                         -+
        --------                    ------
         0+-+                        0++
          -0+                         -+
        --------                    ------       
          00-0                        +-
           000                        -+ 
        ---------                   ------
            -0+                        0
            +0-
        ---------                 0+与++相加，商得+--
              0

平衡三进制发展

平衡三进制计算的发展，可以说是意义的，但也可以说是没有意义的，它是一种先进的进制，但它确实难以实现，可按照前人的路走下去，用逆直流T/交流0/正直流1的三种逻辑门，然后用不同的电阻来存储信息，即ReRAM和忆阻器，大体上是可以实现它的底层，从而真正的弄出一台计算机出来。

其实，平衡三进制的特性更有着对抗的性质，就像两股力量的交锋，势均力敌是平衡，一方或另一方占上风则是T或1，就像天平的称有且三种结果：左倾(小于)、平衡(等于)、右倾(大于)，以下神经信号为例：

静息状态是神经元的默认和准备状态，兴奋是神经元被激活并传递信息的动作，抑制是神经元被阻止或被阻碍传递信息的动作。

静息电位是一种蓄能状态，它就像拉满的弓，一旦接收到足够的刺激（达到阈值），神经元就能迅速爆发产生动作电位（Action Potential），将信息向下传递。
当神经元接收到兴奋性突触后电位 (EPSP)，导致其膜电位去极化（变得更正，如从升到），如果去极化达到阈值（Threshold），神经元会爆发性地产生一个动作电位（Action Potential）。这时，大量通道打开，大量涌入细胞，导致膜电位瞬间变为正值（约）。兴奋信号沿轴突迅速传导，将信息传递给下一个神经元。
当神经元接收到抑制性突触后电位 (IPSP)，导致其膜电位超极化（变得更负，如从降到），通常是（氯离子）流入细胞，或者流出增加，使得膜内负电性增强，使得膜电位离兴奋阈值更远，神经元更难被兴奋，相当于** “给刹车”或“静音” **，阻止或调节信息的传递。

用汽车来类比神经元的状态：静息（准备发车）、兴奋（油门）、抑制（刹车），一次动作信号的是否产生，车已发动未松离合，离合强度达到阈值油门踩死瞬间爆发，汽车一次冲刺（兴奋/动作电位）后，迅速松开油门并踩下刹车，最后重新挂回到停车档（静息）。也可以类比于一个充电的电容，在一定空间与时间下积累足够的阈值能量，有两种小人，一种会输入电荷，另一种会窃取电荷，一旦能量达到阈值瞬间爆发，发射一次强度固定的信号，显现出“全或无” (All-or-None) 的定律，给下一个神经传递信号。

以肌肉运动为指标，以“放松”(T)、“收缩”(1)、“维持”(0)的变化。
以股票收入为指标，以“买入”(T)、“卖出”(1)、“持有”(0)的变化。
以神经信号为指标，以准备（静息0）、激活（兴奋1）和平息（抑制T）的变化。

其中平衡的状态是短暂，但太多数都会自发的回到平衡状态0，然后根据输入切换状态，从而达到相应的效果。

参考资料：

平衡三进制平衡三进制除法 A polar place value number system Hackaday 10th Anniversary: Non-Binary Computing

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