浮点数的存储及表达范围
参考资料：
1. 浮点数进制转换, Mr.Rico个人博客
2. 浮点存储和取值范围，CSDN treasurew 博客
3.【学习记录】正数乘以正数等于负数？| 整数和浮点数在计算机中的存储,B站Up 笨手笨脚oO
一、存储
符号位 | 指数位 | 有效数字位 |
|---|---|---|
表达这个数字的正负，二进制1表示负，0表示正 | 存放规范化指数形式的指数位 | 存放有效数字 |
32位二进制（4个字节）
符号位 | 指数位 | 有效数字位 |
|---|---|---|
1bit | 8bit | 23bit |
64位二进制（8字节）
符号位 | 指数位 | 有效数字位 |
|---|---|---|
1bit | 11bit | 52bit |
别问为什么是这样的！
问就是规定！！！
二、存储举例（以100.1为例）
1. 先变成这个10进制数字的二进制形式
十进制小数转二进制
方法：乘二取整，顺序排列，加上小数点。
案例：
十进制的0.8125转换成二进制：
图片来源：参考资料1：浮点数进制转换, Mr.Rico个人博客
十进制的10.8125转换成二进制：
整数位和小数位分开转换，整数位简单，小数位同上，再用小数点连接。
10转换成二进制为01010
所以10.8125转换成二进制为： 01010.1101
番外：小数二进制转换成十进制
方法： 加权系数展开
图片来源：参考资料1：浮点数进制转换, Mr.Rico个人博客
所以本例中的 100.1 转化成二进制为:
整数位：100 —— 二进制：01100100
小数位：0.1 —— 二进制：0.000110011001100…
最终结果：01100100.0001 1001 1001 1001…
2. 把这个二进制转化成标准化指数形式(2为底数)
还是上边的这个数100.1
转化为二进制表达的标准化指数形式：小数点向左移动6位
最终结果约为：1.100100 e-6
PS：
① 十进制也可以先转换成以2为底数的标准化指数形式，再转换成二进制。
② 十进制先转化二进制，再转化成标准指数化形式，直接移动位数就行。（为啥是这样的？以我们熟悉的十进制为例： 3.89*10^4,就是小数点向右移动4位，38900）
3. 按照存储结构存储（以32bit为例）
32位二进制（4个字节）
符号位 | 指数位 | 有效数字位 |
|---|---|---|
1bit | 8bit | 23bit |
① 100.1是正数，所以第一位是0
1.100100 e-6
② 左移6位，表达成e-6,这个指数位存的就是-6；在8位二进制条件下存储。指数是以阶码的形式存储的。
两种方式看他是怎么存储的：
第一种：
① 先求移码：移码是补码的符号位取反，（-6）的补码是：1111 1010 所以移码结果应该是：0111 1010
④ 再求阶码（浮点数指数位存储形式）： 阶码=阶数的移码-1 0111 1001
第二种：
这个指数位存储的二进制用十进制表示恰好是等于：偏置数（8位偏置127；11位偏置1023）+阶数
127+（-6）= 121
转换成二进制：0111 1001
可以看到第二种和第一种方法得出的结果一样
所以直接用第二种计算简单一点。
问题又来了？？？
偏置值是个什么鬼？
因为存指数位的那个数据是一个无符号的整数形式的数据，8位无符号的整数形式取值范围为：0~255；但是事实上，指数有负数的情况，例如这道题，指数就是-6.那该如何用一个无符号的整数表达负数呢？
干脆把0~255劈一半，0~127；-127~-1；那么只要把是负数的数字加上127就变成了一个无符号整数可以表达的形式了。
所以8位二进制指数偏置值为127；
64位二进制偏置值为1023
计算方法：[2^（位数）]/2-1
③ 有效数字位
1.1001 0000 01100……
由于最高位肯定是1，所以存储时可以把1甩掉，取出来的时候再补上。
所以存到计算机里的是：
1001 0000 0110 0110 0110 011（23位）
最终结果：
【0】【0111 1001】【1001 000 0110 0110 0110 011】
4. 浮点数存取数字范围分析（以32位为例）
根据指数位在内存中存储的数字（e）的大小一共有4种情况 ，其中E表示实际阶数， Bias为偏置值（127或1023）；M为小数部分存放的数字
图片来源参考资料3
$1 \le e\le 254$ | \(e=0\);\(M\ne0\) | \(e=255\)；\(M=0\) | \(e=255\);M$\ne 0$ |
|---|---|---|---|
\(V=(-1)^s*1.M*2^{e-127}\) | \(V=(-1)^S*0.M*2^{-126}\) ，表示正负无穷0，以及接近0的很小的数字 | 表示无穷 | NAN |
根据这个规则，我们可以看到，它可以存放0；无穷；那么8位二进制所能表达的一般浮点数的范围是什么呢？
也就是当e取1~254之间的数
4.1 最大一般浮点数：
当e=254时，即二进制为：1111 1110 时；(当e全为1的情况时，即e=255,这时表示的是无穷或者不是一个数字)，所以254是指数位表达一般浮点数字时所存放的最大的数字。
减去存放时加上的偏置值127，实际存放的最大阶数为 \(Emax=254-127=127\) ;
有效数字位M可以存放23位，最大即23位全为1时
加上被甩掉的1，所以最终结果以二进制表达为：1.1111……1111（小数点后23个1），再乘以阶数127，这个数字用二进制表达为： $1.1111……1111*2^{127}$
需要注意的是这是二进制的表达方式，阶数是几，就把小数点向右移动几位，所以这个直接把小数点向右移动127位，得到了以二进制表达的最大浮点数：1111111……11111（128个1）
换算成10进制为： $2^{128}-1\approx3.4e38$
这就是32位二进制所能表达的最大浮点数的由来。
4.2 最小一般浮点数
下面分析最小的数，由于这种存储方式，有符号位，所以最小的数肯定是 -（3.4e38）;
4.3 绝对值最小的一般浮点数
值得分析的是除去无穷接近于0的情况，所能表示的一般数字种绝对值最小的浮点数(0.000000???)是多少
指数位最小应该是e=1的情况，减去偏置值127，也就是-126；
而有效数字位最小就是全为0，
最终这个绝对值最小的浮点数以二进制表示为： $1.0*2^{-126}$
同理，这个是小数点向左移126位，得到：0.000……000（125个0）1 这是二进制表达的
换算成10进制为： $1*2^{-126}\approx1.2e-38$ （事实上是0.000……000（37个0）11754943……）
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