拓扑空间简介

X和Y是两个集合，定义卡氏积为：

$$X\times Y:=\left\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\right\}$$

${\mathbb{R}}^2:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 类似的有${\mathbb{R}}^n:=\underset{n}{(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\cdots )}$。${\mathbb{R}}^n$中的元素$x=(x^1,\cdots ,x^n)$，这里用s上标在指分量。 ${\mathbb{R}}^2$的元素$(x,y)$是自然坐标。 ${\mathbb{R}}^n$空间的距离记作：$|x-y|=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x^i-y^i{)}^2}$。 距离和坐标的概念是${\mathbb{R}}^n$空间所自有的。

映射($map$)：

$$\{\begin{array}{llc}f:& X\to Y& 集合的写法\\ f:& x\mapsto y& 元素的写法\end{array}$$

一一映射($oneone$)：$Y$的任意一个元素的逆象不得多于一个。（可以没有） 到上映射($onto$)：$Y$的任意一个元素，最起码有一个逆象。

子集的象记作：$f[A],A$是子集。 如果一个映射是一一到上的则说该映射是极好的。此时会有逆映射。

$$f^{-1}:Y\to X$$

如果该集合没有其他的特殊结构，则只能要求其有一一和到上两个结构，但是如果有其他结构就可以要求其有$C^n$即连续，导数连续等。

映射的连续性：

$$\begin{array}{rl}& f:=X\to Y,X=Y=\mathbb{R}\\ & fis{c}^{0}atx\in Xif\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\\ & s.t.|x^{\prime }-x|<\delta \Rightarrow |f(x^{\prime })-f(x)|<\epsilon \end{array}$$

等价的定义: Def:$f:X\to Y$是连续的如果$Y$的开区间的逆象是X的开区间之并(或者$\varnothing$)

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拓扑定义

$X$是一个集合，$\mathcal{P}$是$X$所有子集的集合，令$\mathcal{T}$是$\mathcal{P}$的一个子集，满足以下规则：

1. $X,\varnothing \in \mathcal{T}$
2. $O_i\in \mathcal{T},i=1,\cdots ,n;\Rightarrow {\bigcap }_{i=1}^n{O}_i\in \mathcal{T}$
3. $O_{\alpha }\in \mathcal{T};\Rightarrow {\bigcap }_{\alpha }{O}_{\alpha }\in \mathcal{T}$

则称$\mathcal{T}$是$X$的一个拓扑。

离散拓扑：任何子集都是开集。 凝聚拓扑：只有空集和$X$是开集。 通常拓扑：定义开球。

• 在集合X中定义一个拓扑$\mathcal{T}$该拓扑空间和$X$的子集$A$上所定义的拓扑（$\mathcal{S}$）空间是有联系的。 可以定义$A$上的拓扑满足:

$$\mathcal{S}=\left\{V\subset A\mid \exists O\in \mathcal{T},stO\cap A=V\right\}$$

$\mathcal{S}$被称为诱导拓扑。

• 这样定义的拓扑满足$\mathcal{S}\subset \mathcal{T}$

• 一个映射$f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{S})$如果是连续的;

$$f^{-1}[O]\in \mathcal{T},\forall O\in \mathcal{S}$$

1. 定义闭集：开集的补集就是闭集。 * X和空集是闭集。
2. 连通性
   • 一个拓扑空间的即开又闭的集合多于两个则说是非联通的。
   • 例$X\equiv A\cup B\subset \mathbb{R};(A,B不相交)$，$X$中的即开又闭的集合有$X,\varnothing ,A,B$.

• 如果$\exists O\in \mathcal{T};stx\in O\subset N$则称$N$是$x$的邻域.

• 一个映射是一一到上的且连续不能说明其逆映射也是连续的。在拓扑意义下的连续不是狭义的函数连续而是一种广义的连续。

  • 如两个拓扑结构不是相等个数。

• 两个拓扑空间是同胚的，如果能找到一个映射是一一到上的，且映射和逆映射都是连续的。

• 两个拓扑空间是同胚的则说这两个拓扑空间像的不能再像。

在$\mathbb{R}$空间的任一个开区间都与$\mathbb{R}$是同胚的。 同胚映射是保紧致性的，可以通过紧致性来判断是否同胚。

在电路中以下是等价的。

习题：5，8，9，10

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