讲座一

严格区分量和数

可以相互比较（测量）的量叫同类量，比较的结果是一个数。量和数必须严格区分。以粗体字母代表量，如$\mathbf{A}$;细体代表数，如$A$。 手写粗体用$\mathbf{A}\equiv \underline{A}$。

例： 跑道长度$\mathbf{l}=100$米 推广至一般： 设${\mathbf{A}}_1$和${\mathbf{A}}_2$是同类量，用${\mathbf{A}}_1$测${\mathbf{A}}_2$得数为$A$,则有

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{A}}_2=A{\mathbf{A}}_1\frac{{\mathbf{A}}_2}{{\mathbf{A}}_1}=A\\ ——同类量等式& \end{array}$$

定义： 与量$\mathbf{A}$同类得所有量得集合叫量类$\tilde{\mathbf{A}}$。 对于上述例子，用厘米测跑到长度，得10000.推至一般： 设用$\hat{\mathbf{A}}$测$\mathbf{A}$得数为$A$，用${\hat{\mathbf{A}}}^{\prime }$测$\mathbf{A}$得数为$A^{\prime }$,（$\hat{\mathbf{A}}$是单位）便有：

$$\mathbf{A}=A\hat{\mathbf{A}}=A^{\prime }{\hat{\mathbf{A}}}^{\prime }故\frac{{\hat{\mathbf{A}}}^{\prime }}{\hat{\mathbf{A}}}=\frac{A}{A^{\prime }}$$

即：测同一个量大单位得数小，小单位得数大。

问题：$f=ma$中得$f$代表什么？ $f=6牛顿$？抑或$f=6$? 物理书的公式大多是数的等式。 相对论的公式：

$$t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$$

用几何单位制：($c=1$)

$$t^{\prime }=\gamma \left(t-vx\right)\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$$

如果$v$是一个量的化，则不可能等于一个数。 用光速作为一个速度单位就可以得到$c=1$。

单位制

1. 选$l$个量类${\tilde{\mathbf{J}}}_{\mathbf{i}}$为基本量类，其他叫导出量类。
2. 对每一基本量类选一单位${\hat{\mathbf{J}}}_{\mathbf{i}}$,叫基本单位
3. 对每一导出量类$\tilde{\mathbf{C}}$,用一个涉及$\tilde{\mathbf{C}}$的物理规律定义其单位，叫导出单位

例：CGS制。基本量类：长度$\tilde{\mathbf{l}}$，质量$\tilde{\mathbf{m}}$,时间$\tilde{\mathbf{t}}$。基本单位：$\mathbf{c}\mathbf{m}\in \tilde{\mathbf{l}},\mathbf{g}\in \tilde{\mathbf{m}},\mathbf{s}\in \tilde{\mathbf{t}}$. 导出单位如何定义： 速度单位$\hat{\mathbf{v}}$； 设$t\mathbf{s}$走了$l\mathbf{c}\mathbf{m}$，以$v$代表用任一速度单位$\hat{\mathbf{v}}$测速度所得的数，则$v=k\frac{l}{t}$,$k$反映速度单位的任意性。指定$k=1$便指定了速度的CGS制单位${\hat{\mathbf{v}}}_{\mathbf{C}\mathbf{G}\mathbf{S}}$

量纲

定义：单位制$\mathcal{Z}$与${\mathcal{Z}}^{\prime }$叫同族的，若

1. 基本量类相同
2. 导出单位定义方程相同

定义：量类$\tilde{\mathbf{A}}$在同族单位制$\mathcal{Z}$和${\mathcal{Z}}^{\prime }$的单位$\hat{\mathbf{A}}$和${\hat{\mathbf{A}}}^{\prime }$的比值称为$\tilde{\mathbf{A}}$的量纲。即：

$$dim\tilde{\mathbf{A}}\equiv \frac{\hat{\mathbf{A}}}{{\hat{\mathbf{A}}}^{\prime }}$$

注：

1. 用说“$\tilde{\mathbf{A}}$在某个单位制族的量纲”。 2. 因为${\mathcal{Z}}^{\prime }$可变所以量纲是一个变数。

力的量纲：$dimf\equiv LM{T}^{-2}$; 其中$L\equiv dim\tilde{\mathbf{l}}M\equiv \tilde{\mathbf{m}}T\equiv dim\tilde{\mathbf{t}}$ 可见$dim\tilde{\mathbf{f}}$是$dim\tilde{\mathbf{l}},dim\tilde{\mathbf{m}},dim\tilde{\mathbf{t}}$的三元函数。

公理1： 数的等式在同族单位制形式相同。

定理1：任一单位制的任一导出单位$\tilde{\mathbf{C}}$的终极定义方程都是幂单项式：

$$C=k{J}_1^{{\delta }_1}\cdots J_l^{{\delta }_l}$$

定理2：量纲式都是幂单项式。

证明： 导出量类$\tilde{\mathbf{C}}$在$\mathcal{Z}$制的单位$\hat{\mathbf{C}}$的终极定义方程：

$$C=k{J}_1^{{\delta }_1}\cdots J_l^{{\delta }_l}$$

在同族制${\mathcal{Z}}^{\prime }$的单位${\hat{\mathbf{C}}}^{\prime }$的终极定义方程：

$$C^{\prime }=k{J}_1^{{\delta }_1}\cdots J_l^{{\delta }_l}$$

故

$$\begin{array}{rl}\dim \tilde{\mathbf{C}}\equiv & \frac{\hat{\mathbf{C}}}{{\hat{\mathbf{C}}}^{\prime }}=\frac{C^{\prime }}{C}={\left(\frac{J_1^{\prime }}{J_1}\right)}^{{\sigma }_1}\cdots {\left(\frac{J_l^{\prime }}{J_l}\right)}^{\sigma }\\ =& (dim{\tilde{\mathbf{J}}}_1{)}^{{\delta }_1}\cdots (dim{\tilde{\mathbf{J}}}_{\mathbf{l}}{)}^{{\delta }_l}\end{array}$$

定理三：$C=A^{\alpha}B{\beta} \Rightarrow dim\boldsymbol{C}=(dim\boldsymbol{A})^{{\alpha}(dim\boldsymbol{B})}{\beta} $

证明：

$$dim\mathbf{C}=\frac{C^{\prime }}{C}=\frac{A^{\prime \alpha }{B}^{\prime \beta }}{A^{\alpha }{B}^{\beta }}=(dim\mathbf{A}{)}^{\alpha }(dim\mathbf{B}{)}^{\beta }$$

定理4 （量纲其次性定理）

$$C=A+B+\cdots \Rightarrow dim\tilde{\mathbf{C}}=dim\tilde{\mathbf{B}}=\cdots$$

**一般结论：超越函数符号$sin,lg,ln,exp$等的对象必须为无量纲量，否则，将其泰勒展开后，不符合定理四。

$\Pi$定理的证明和应用

设问题涉及n个量，在单位制$\mathcal{Z}$的数$Q_1,\cdots ,Q_n$满足：

$$f(Q_1,\cdots ,Q_n)=0$$

借$\mathcal{Z}$把涉及量分两组，甲组有$m$个量，记作$A_1,\cdots ,A_m$，其余$n-m$个属乙组，记作$B_1,\cdots B_{n-m}$. 分组条件：

1. ${\tilde{\mathbf{B}}}_{\mathbf{j}}$可用${\tilde{\mathbf{A}}}_1,\cdots {\tilde{\mathbf{A}}}_{\mathbf{m}}$量纲表出，即：

   $$dim{\tilde{\mathbf{B}}}_{\mathbf{j}}=(dim{\tilde{\mathbf{A}}}_1{)}^{x_{1j}}\cdots (dim{\tilde{\mathbf{A}}}_{\mathbf{m}}{)}^{x_{mj}},$$

2. ${\tilde{\mathbf{A}}}_1,\cdots {\tilde{\mathbf{A}}}_{\mathbf{m}}$相互独立。

$\Pi$定理:

1. 可以构造$n-m$个独立的无量纲量${\Pi }_1,\cdots ,{\Pi }_{n-m}$
2. $f(Q_1,\cdots ,Q_n)=0$可改写为无量纲形式

   $$F({\Pi }_1,\cdots ,{\Pi }_{n-m})=0$$

证明：设${\mathbf{A}}_1,\cdots ,{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}};{\mathbf{B}}_1,\cdots ,{\mathbf{B}}_{\mathbf{n}-\mathbf{m}}$在$\mathcal{Z}$制的数为$A_1,\cdots ,A_m;B_1,\cdots ,B_{n-m}$,定义

$${\Pi }_j=B_j{A}_1^{-x_{1j}}\cdots A_m^{-x_{mj}}$$

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